對數位勢（logarithmic potential）

在三維，點源的重力場或電場以 1/距離 衰減，給出熟悉的 1/r 位勢。把世界壓平到二維——想像一根無限長的帶電導線從端點看過去，或是一條線源放出的熱——幾何就變了：位勢不再以 1/r 衰減，反而隨距離的對數而增長。對數位勢就是這個二維的對應：平面中拉普拉斯算子的基本解。

具體地說，在平面中 -Laplacian 的基本解是 E(x) = -(1/(2 pi)) log|x|，使得 -Laplacian E = delta。等價地，Laplacian of ((1/(2 pi)) log|x|) = delta。你可以在原點之外驗算：log|x| = (1/2) log(x1^2 + x2^2) 在 x 不等於 0 時是調和的（其拉普拉斯為零），而 delta 完全由原點處的奇異性產生——grad E 通過任一繞著 0 的小圓的高斯通量等於 1。於是平面中帕松方程（Poisson）-Laplacian u = f 的解是 u(x) = -(1/(2 pi)) integral of log|x - y| f(y) dy：把對數沿著源塗抹開。

有兩個特徵值得注意。對數會變號——log|x| 在單位圓內為負、圓外為正——而且關鍵地，它在無窮遠處不衰減，反而無界地增長。這正是為什麼二維位勢論有三維所沒有的微妙之處：不存在既滿足方程、又在無窮遠保持有界的非平凡位勢，所以「那個」位勢只能定到差一個相加常數，且需小心處理遠處的行為。同一個對數也以 log z 之實部的身分出現在複分析裡，把平面位勢論與全純函數連結起來。