在平衡點附近的線性化（linearization about an equilibrium）

假設一個系統幾乎靜止在某個靜止狀態——一個垂直下垂的鐘擺，或一個停在容納量的族群。如果你輕輕推它一下，原本支配它的那些雜亂非線性力，在第一近似下，可以用一個簡單得多的線性系統很好地描述。線性化就是把第一近似以外的東西全部丟掉，好讓你能用線性理論的全套工具來預測靜止狀態附近會發生什麼。

用平實的步驟說明做法。從自治系統 x' = f(x) 出發，設 x* 是一個平衡點，意思是 f(x*) = 0，系統若放在那裡就會永遠停在那裡。把狀態寫成 x = x* + u，其中 u 是微小偏離。泰勒展開給出 f(x* + u) 約等於 f(x*) + J u，其中 J 是 f 在 x* 處求值的雅可比矩陣（Jacobian matrix）——所有一階偏導數排成的表。因為 f(x*) = 0，偏離量滿足 u' = J u，一個普通的常係數線性系統。你就用特徵值來分析它，與線性相平面裡完全一樣。

這之所以重要，是因為多數真實系統是非線性的、沒有解的公式，但在每個平衡點附近，它們的行為都像一個你能完全求解的線性系統。誠實的陷阱是：線性化只告訴你平衡點極近處的行為，而且只有在該平衡點是雙曲（hyperbolic）時才可靠——也就是 J 的特徵值沒有一個恰好落在邊界上（實部為零）。在邊界情形，被丟掉的非線性項可能翻轉答案，這時線性圖像就不可信。