線性二次型調節器

線性二次型調節器，幾乎總是簡稱為 LQR，是一套用來算出「把系統拉回你想要的位置的唯一最佳方式」的配方，前提是你同時在意兩件互相競爭的事：讓系統緊貼目標，以及別為此花太多力氣。想像在手掌上立一根掃帚柄。你希望柄是豎直的（誤差要小），但你也不想把手揮得亂七八糟（力氣要省）。LQR 會在這兩個願望之間找到精確的平衡——既能糾正、又不至於反應過度的那種最平滑的修正。

它的名字來自兩個詞。「線性」意味著它假設系統在目標附近以一種簡單的、成比例的方式運作——推兩倍的力就得到兩倍的反應——這一點由狀態空間模型來描述，那是一組緊湊的方程式，列出系統的重要數值以及它們如何變化。「二次型」意味著你想壓低的代價是寫成平方項的：誤差的平方加上力氣的平方，各自乘上你自己選的權重。把誤差的權重調大，LQR 就變得激進；把力氣的權重調大，它就變得溫和而「偷懶」。

LQR 的美妙之處在於：對於一個帶二次型代價的線性系統，你根本不必去搜尋或猜測。數學會直接交給你一張固定的數值表，稱為增益，它把當前的誤差直接映射成正確的修正量。機器人只需每個週期把當前狀態乘上這個增益，所得結果在數學上可證明就是最佳的折中。這正是 LQR 成為平衡腿式機器人、穩住無人機、對準相機雲台時首選入門工具的原因。