羅朗係數（Laurent coefficients）

一旦你接受函數在給定環域上有唯一的羅朗級數，自然要問：我究竟怎麼找出那些數 a_n？那些數，每個整數 n（正、負與零）各一個，就是羅朗係數。它們把函數的局部行為打包成一份清單，而求得它們有兩種正當方法：一個總是有效的乾淨積分公式，以及通常更快的巧妙代數。

積分公式是主力。對於在環域 r < |z - z_0| < R 上解析的函數 f，第 n 個係數是 a_n = (1 / (2 pi i)) 乘以 f(z) / (z - z_0)^(n+1) dz 沿 gamma 的積分，其中 gamma 是落在環域內、逆時針繞一圈的任意圓 |z - z_0| = rho。這是把柯西積分公式延伸到也涵蓋負的 n；它一次對每個整數 n 都成立，並證明了展開是唯一的。不過實務上你很少直接算這些積分——而是去辨認已知的級數。把幾何級數 1/(1 - w) = 1 + w + w^2 + ... 或指數／正弦／餘弦級數拿來相乘、相除或代換，再對 (z - z_0) 的各冪比對係數。

最受珍視的係數是 a_{-1}：在公式裡令 n = -1，得 a_{-1} = (1 / (2 pi i)) 乘以 f(z) dz 沿 gamma 的積分，於是 f 繞迴路的積分恰好等於 2 pi i 乘以 a_{-1}。這單一個數就是留數，是通往留數定理與計算實積分的橋樑。其他係數也重要——最低的非零負係數是 a_{-m} 就告訴你極點的階是 m——但 a_{-1} 才是把級數變成工具的那一個。