克萊因-米爾曼定理（Krein-Milman theorem）
/ KRINE MIL-mun /
看一顆鑽石：它整塊實體是其尖角的凸包——把角與角之間統統填滿，就還原了這顆寶石。克萊因-米爾曼定理說這並非巧合：緊凸集可由它最尖銳的點——極點，即不是集合中另外兩點之中點（或任何內部平均）的那些點——完全重建。多邊形的角、立方體的頂點、球面上的每一點，都是極點，而凸體恰好就是它們的凸包。
凸集 K 的極點，是不嚴格介於 K 中兩個相異點之間的點：若 e = t*x + (1 - t)*y 且 x, y 屬於 K、0 < t < 1，則必有 x = y = e。定理斷言：R^n 中（更一般地在局部凸拓樸向量空間中）非空緊凸集 K 等於其極點集的閉凸包：K = conv(ext K)，含閉包。所以極點承載了全部資訊；其餘一切都是它們的加權平均。無窮維版本才是最有力的——只要 K 在適當（常是弱*）拓樸下緊，它就保證極點存在，哪怕你看不見它們。
這是許多存在性定理背後的抽象引擎：線性規劃在頂點達到最優、機率測度是點質量的混合（測度單純形的極點）、L-無窮的單位球有極點（模為 1 的函數）而非對偶空間 c_0 的單位球卻一個極點也沒有——由克萊因-米爾曼這就證明了 c_0 不是任何空間的對偶。兩個誠實的提醒。其一，緊性確實必要：開球根本沒有極點，而像半平面這樣的無界凸集也不是其極點的凸包。其二，克萊因-米爾曼給出的是閉凸包；不取閉包就把 K 還原為極點凸包，是更強而獨立的事實（對多胞形與有限維成立，一般情形更微妙——更銳利的舒凱理論細化了它）。
實心正方形 [0,1] x [0,1] 的極點恰是它的四個角 (0,0)、(1,0)、(1,1)、(0,1)。其他任何點——邊的中點、中心——都是正方形中兩點的平均，故非極點。而正方形確實就是這四角的凸包。相對地，閉圓盤的極點是它整條邊界圓周：沒有任何邊界點是另兩點的內部平均。
正方形是其 4 個角的凸包；圓盤的極點則填滿整條邊界圓周。
極點與暴露點（被某個只在該處碰觸的支撐超平面切出的點）並不相同。每個暴露點都是極點，反之不然——「跑道」形（矩形兩端接半圓帽）在帽與矩形接合處有極點卻非暴露點。克萊因-米爾曼只需要極點。