支撐超平面（supporting hyperplane）
把一塊平板斜靠在光滑的巨石上，使它恰好碰到卻不切入。這塊板是一個平面，它在某個邊界點與巨石相遇，並讓整塊巨石留在它的一側。這就是支撐超平面：一面平牆恰好頂在凸體上，碰觸其邊界卻絕不切過其內部。對球而言，邊界點處的支撐超平面就是通常的切平面；對立方體而言，單個角點有一整把支撐超平面，因為那裡的邊界不光滑。
精確地說，設 K 是 R^n 中的凸集、p 是其邊界上一點。超平面 H = {x : <u, x> = c}（u 是非零法向量、c 是常數）在 p 處支撐 K，若 p 屬於 H、且 K 完全落在 H 所界定的兩個閉半空間之一，譬如對所有 x 屬於 K 都有 <u, x> <= c，並在 p 處取等。等價地，c = h_K(u) 是支撐函數值，而 p 是該上確界被達到之處。支撐超平面定理保證：通過凸體的每一個邊界點都至少有一個這樣的超平面——凸性正是使這件事永遠可行的條件。
支撐超平面是分離原理的局部面貌，也是對偶與最佳化的幾何核心。它把凸體化為其所有支撐半空間之交集，這正是與支撐函數對應的對偶描述。在最佳化中，可行集在最優點處的支撐超平面用以驗證一個解；在泛函分析中，把同一想法推到無窮維，便是幾何形式的哈恩-巴拿赫定理。一個常見誤解：某點處的支撐超平面不必唯一——它唯一恰好發生在 K 「光滑」（只有單一外法向）的邊界點；在稜與頂點上，多個支撐超平面共存，鋪滿整個法錐。
對 R^2 中的單位正方形 K = [0,1] x [0,1]，直線 y = 1 在頂邊的每一點支撐 K：K 落在半平面 y <= 1 內，並沿整條頂邊碰觸該直線。在角點 (1,1) 處沒有單一切線——反之，凡通過 (1,1) 且外法向指向右上象限的每條直線都支撐 K，這是一整族單參數的支撐線。
一條邊只有一條支撐線；一個角點則有一整把支撐線。
支撐超平面必須把整個 K 留在一側，而非僅僅碰到它：穿過內部的割平面即使與邊界相交也不是支撐的。而且支撐超平面在每個邊界點都存在，這只對凸集成立——非凸體一般有些邊界點無法被任何平面支撐。