二體（克卜勒）問題（two-body Kepler problem）
/ KEP-ler /
抬頭看繞日的行星，或繞地的月亮：兩個物體，靠重力彼此牽引，在太空中起舞。二體問題提出天體力學最根本的問題——給定兩個質量與重力定律，它們究竟描出什麼軌跡？從牛頓定律推得的答案，是微分方程至高的勝利之一：它解釋了行星、印證了克卜勒觀測到的定律，並開創了數學物理。
兩個質量沿連線互相吸引，力隨間距 r 的平方而減弱：重力給出 r'' 正比於 -1/r^2 並指向內（平方反比定律）。兩個簡化把它撬開。其一，質心穩定地漂移、可略去，所以你只追蹤兩物體之間的「相對」向量——把二體化為一個繞固定中心運行的等效單體。其二，重力是中心力，所以角動量守恆，這把運動釘在一個平面上，並免費給出克卜勒的「等時間掃等面積」定律。
解出所得的方程，克卜勒三大定律便作為定理而非猜測湧現。軌道永遠是圓錐曲線——對束縛的行星是橢圓（太陽位於一個焦點），對只擦身一次便離去的不受束縛彗星則是拋物線或雙曲線。軌道週期的平方正比於半長軸的立方。單憑重力、一個平方反比的牽引，便迫使軌道成為精確的橢圓，這是近乎奇蹟的事實，為 1/r^2 定律所獨有，其他任何冪次皆不成立。
誠實之處：乾淨的閉式解「只」對兩個物體存在。加入第三個——太陽、地球、月亮一起——三體問題便無一般的初等解，且可能混沌。所以課本裡工整的橢圓是一種理想化：真實行星互相擾動，軌道緩慢進動，而太陽系確切的長期未來，嚴格說來，超出閉式解的可及範圍。
地球在橢圓上繞日運行，太陽位於一個焦點，等時間掃過等面積——所以它在一月最接近時運行最快、在七月最遠時運行最慢。這兩個事實都直接從平方反比的二體方程落出，無需任何曲線擬合。
平方反比的重力迫使出一個閉合橢圓軌道，太陽位於一個焦點。
精確的閉式橢圓是「二體」平方反比問題的特殊獎賞。三個或更多相互引力的物體並無一般的初等解，且可能混沌，所以真實的行星軌道只是近似那乾淨的克卜勒橢圓。