可積系統
可積系統是一種罕見而優美的特例：一個規則到足以被精確求解、永遠不出現混沌的力學系統。它的運動井然有序、準週期——相空間軌跡平滑地繞著甜甜圈狀的曲面纏繞，而非狂亂遊走。你所遇過的大多數可精確求解的問題（簡諧振子、克卜勒問題、自由剛體），都是可積的，而這正是它們得以被解出的原因。
精確的判準是劉維爾可積性：一個有 n 個自由度的系統為可積，若它擁有 n 個獨立的守恆量 F_1 = H, F_2, ..., F_n，且彼此對合（in involution），即所有帕松括號皆為零，{F_i, F_j} = 0。劉維爾-阿諾德定理隨即保證：有界運動落在 2n 維相空間中的 n 維不變環面上，作用-角變數存在，且運動是以固定頻率繞每個環面的線性纏繞。擁有與自由度數目一樣多、且彼此對易的獨立守恆量，正是「約束足夠多、足以解出它」的確切含義。
可積性之所以重要，在於它是例外而非常態；知道它在何處成立，便組織起整個力學。真正可積的系統並不典型；幾乎任何擾動都會破壞精確可積性，而 KAM 定理描述不變環面如何一部分倖存、一部分溶入混沌。可積性也遠遠超出古典力學——延伸到孤立子、統計力學中的可精確求解模型，以及量子可積系統——在那裡，同一個想法（一整組彼此對易的守恆量）再次馴服了原本毫無希望的問題。
二體克卜勒問題（一顆行星繞太陽）是可積的：能量、總角動量、以及拉普拉斯-龍格-楞次向量的方向都守恆且彼此對合，給出永不進動的閉合橢圓軌道。加入第二顆行星，那些額外的守恆律便消失了——三體問題不可積，且一般而言是混沌的。
克卜勒二體問題可積（閉合橢圓）；三體問題不可積，這正是行星軌道會進動、甚至可能混沌的原因。
守恆量必須彼此對合（帕松括號互相為零），而不只是數量夠多。一個系統即便有好幾個守恆量，若它們並非兩兩對易，仍可能不可積。「可積」是一種強的、結構性的性質——而一般的哈密頓系統並不具備它。