作用-角變數
作用-角變數是任何「會重複」的系統——任何振盪或環繞運動——的理想座標。它把有界的週期運動重新包裝，使其中一個變數（角變數）只是以穩定速率繞圈、標記你在一個週期中的相位，而它的夥伴（作用變數）則保持完全不變、標記你身處哪一個週期。它把「複雜的週期運動」變成「一個點以定速繞著圓走」。
對於運動有界的可積系統，我們做正則變換，得到稱為作用變數的新動量 J_i =（1/2 pi）乘以 p_i dq_i 沿第 i 個運動一個週期的閉迴路積分，以及它們的共軛座標——角變數 theta_i。在這組變數中，哈密頓量只依賴作用變數，H = H(J)，因此所有作用變數守恆，而每個角變數線性演化：theta_dot_i = partial H / partial J_i = omega_i(J)，為常數，給出 theta_i = omega_i t + 常數。這些 omega_i 是運動的固有頻率，直接對 H(J) 微分即可讀出。所有辛苦活都在那一次性的構造裡；此後動力學就變成平凡的線性。
作用-角變數是微擾論、絕熱不變性（作用變數正是在參數緩慢變化下幾乎保持不變的那些量）以及舊量子論的自然語言——在舊量子論中，波耳-索末菲量子化只不過把每個作用變數設為普朗克常數的整數倍，J_i = n_i hbar。它們也是 KAM 定理描述「可積系統受微小擾動後何者倖存」的舞台。每當你聽到「頻率」與「環面（tori）」，底下就是作用-角變數。
對簡諧振子 H = p^2/(2m) + (1/2) m omega^2 q^2，作用變數為 J = E / omega（軌道所圍相空間面積除以 2 pi），故 H = omega J。於是 theta_dot = partial H / partial J = omega——角變數恰以振子頻率前進，而守恆的作用變數就是所圍面積，即能量除以頻率。
對振子，作用變數為 J = E/omega，哈密頓量單純為 H = omega J，故角變數以固有頻率 omega 繞行。
作用-角變數只對運動有界（來回擺動或旋轉）的可積系統存在；其構造仰賴相空間軌跡落在環面上。非可積或混沌系統沒有整體的作用-角描述——環面會瓦解，而這種瓦解正是 KAM 定理與混沌理論所研究的對象。