不等式約束（inequality constraint）

等式約束把你釘在一條曲線或曲面上；不等式約束則圈出一整片你必須待在裡面的區域。諸如 g(x, y) 小於等於 0，或 x 大於等於 0 這樣的條件，就是不等式約束。設想在產量不得超過產能時最佳化利潤，或一個不能為負的量。可行集如今是一片帶邊界的區域，而非一條細曲線。

決定性的新思想是：一條不等式約束在最優點處可以是起作用的，也可以是不起作用的。若最佳點落在允許區域的嚴格內部，圍欄無關緊要——約束不起作用，你就當它不存在地最佳化。但若最優點被頂到了邊界上，約束就起作用：它在那裡以等式 g = 0 成立，確實塑造了答案，表現得像一條拉格朗日約束。由於你通常事先並不知道哪些約束會起作用，分析必須考慮各種可能——而且會出現一個符號條件，因為邊界只能往回推，絕不能往外拉。

不等式約束讓最佳化變得現實：預算、產能、機率或濃度的非負性、以及物理極限，全都是單邊的。它們是線性規劃、二次規劃和機器學習中支持向量機的舞臺。系統地處理哪些約束起作用、以及它們乘數的符號，正是 Karush-Kuhn-Tucker 條件的內容——拉格朗日乘數向不等式的推廣。