各種收斂模式之間的蘊含關係

隨機變數收斂有四種標準方式——幾乎必然、依 r 階平均、依機率、依分布——初學者的第一個問題是：哪個比哪個強？令人安心的消息是，它們排成一個清楚的偏序，其中有一種模式（依機率收斂）作為中央樞紐，所有人在通往最弱模式的路上都會經過它。

核心鏈條是這樣的。幾乎必然收斂蘊含依機率收斂。依 r 階平均收斂「也」蘊含依機率收斂（透過馬可夫不等式）。而依機率收斂蘊含依分布收斂。所以依分布收斂最弱，坐在底部；依機率收斂居於中間，是兩種強模式的共同推論；而兩種強模式——幾乎必然與 r 階平均——彼此「不」可比（互不蘊含）。箭頭只朝一個方向：一般而言，這些蘊含都不可逆。

知道這張地圖能省下真正的工夫，也能避免真正的錯誤。要證明最弱的主張，你拿最容易的工具（用特徵函數證依分布）；要主張最強的，你得多做工（用博雷爾-坎特利證幾乎必然）。每個不可逆都配著一個著名反例：高度為 n、機率為 1/n 的尖峰依機率收斂但不依平均收斂；「打字機」序列依機率收斂但不幾乎必然收斂；而「依分布收斂到一個常數」是特殊的——在那裡它「確實」升回依機率收斂，這是唯一一個值得記住的整潔例外。