超幾何到二項的關係（hypergeometric-to-binomial relationship）

二項與超幾何回答的是同一個物理問題——我在 n 個樣本中拿到幾個特殊物品？——只是在兩套不同規則下。二項是放回抽樣（或母體大到無關緊要），所以成功機率 p 維持固定、試驗獨立。超幾何是從有限母體 N 不放回抽樣，所以機率漂移、試驗相依。它們的關係一句話就能說：當母體相對於樣本很大時，兩個分配幾乎一模一樣。

具體原因如下。在超幾何中，紅球比例為 p = K/N。第一抽出現紅球的機率恰為 p。第二抽則是 K/(N-1) 或 (K-1)/(N-1)，視第一抽而定——接近 p 但不相等。若 N 巨大而 n 很小，抓走幾個幾乎不改變比例，於是每抽近似為機率 p 的獨立試驗，這正是二項的圖像。從變異數也看得出來：超幾何變異數是二項變異數 n p (1 - p) 乘以有限母體校正 (N - n)/(N - 1)。當 N 在 n 固定下趨於無窮，該校正趨近 1，兩個變異數合而為一。

實務的經驗法則是：當樣本至多約為母體的 5% 到 10% 時，二項是超幾何很好的近似。這很重要，因為超幾何 pmf 滿是大階乘、計算麻煩，而二項則容易。所以從數百萬人口中抽 1000 人的民調樂於使用二項：不放回的現實在技術上是超幾何，但差異可忽略。