霍普夫分岔（Hopf bifurcation）
/ HOPF (rhymes with 'top') /
到目前為止所有的分岔都在重排靜止狀態。霍普夫分岔做了一件新的事：它孕育出一個振盪。想像一個安靜的穩態——靜息的心臟、停在固定濃度的化學混合物、維持定電壓的電子電路。當參數越過某個門檻，穩態失去穩定不是靠漂走，而是靠開始鳴響：在原本毫無振盪之處，憑空湧現一個微小、自我維持的振盪。一個極限環誕生了。
霍普夫分岔活在二維或更高維裡，因為振盪需要空間繞圈。其關鍵跡象在平衡點處的線性化裡：一對共軛複特徵值 alpha(r) +/- i beta(r) 隨參數 r 變化而越過虛軸——實部 alpha 從負變正改變了符號，而虛部 beta 保持非零。實部為負表示向內螺旋（衰減的振盪，穩定）；實部為正表示向外螺旋（增長的振盪，不穩定）；而恰在 alpha = 0 處，螺旋既不增長也不衰減。接著非線性項抓住增長的螺旋，把它彎折到一個固定振幅的閉環上——一個頻率約為 beta 的極限環。超臨界霍普夫給出一個穩定的小環，振幅像 sqrt(r - r_c) 那樣增長，是振盪的平滑開端；次臨界霍普夫則是突然的，可能跳到一個大振幅的環並伴隨遲滯。
這是一個原本平穩的系統開始自行振盪的標準途徑：心跳節律的開始、機翼的顫振、化學時鐘的自發滴答、神經元的放電。因為線性分析只標示出特徵值的穿越，更深的霍普夫定理才是保證真有一個週期軌道出現的依據，並透過一個「第一李雅普諾夫係數」的符號告訴你，這個開端是安全的超臨界型，還是危險的次臨界型。
范德波振盪器 x'' - mu (1 - x^2) x' + x = 0 以原點為平衡點。當 mu < 0 時它是穩定焦點（振盪消退）；當 mu 增大越過 0，那對特徵值越過虛軸，原點變成不穩定焦點，同時一個穩定極限環繞著它增長。在 mu = 0 處系統發生霍普夫分岔，開始自行振盪。
一個穩定焦點轉為不穩定，並衍生出一個環繞的極限環——自我維持振盪的標準誕生方式。
特徵值穿越是斷定極限環的必要條件而非充分條件：霍普夫定理還需要這個穿越是橫截的（速度非零）且非線性項是一般的。而且特徵值判據完全沒告訴你這個環是否穩定——那需要更高階的李雅普諾夫係數。