哈納克不等式（Harnack's inequality）
/ HAR-nahk /
取一個正的調和函數——一個處處溫暖、永不觸及零的穩態溫度。哈納克不等式說：在任何安穩地坐在區域內部的範圍上，這個函數不可能高低懸殊：它在那裡的最大值，最多是它最小值的某個固定倍數。一個在某緊緻片上某處很大的正調和函數，在那整片上處處都很大。它不可能在一點巨大、隔不遠就幾乎為零。
精確地說：若 u >= 0 在某區域上調和，K 是一個嚴格落在內部的緊緻子集，則存在一個常數 C——只依賴於 K 與區域，「不」依賴於 u——使得 u 在 K 上的最大值最多是 C 倍的 u 在 K 上的最小值。即 sup_K u <= C inf_K u。這個常數僅來自幾何；同一個 C 對每個正調和函數都管用。對單位球甚至有來自帕松積分公式的明確版本，也就是經典的哈納克不等式，它用中心處的 u 乘上一個只依賴於到邊界距離的明確因子，來界定內部某點的 u。也有拋物型哈納克不等式，但它有個轉折：比較不同點的值還需多等一點時間，因為擴散需要時間去抹平——拋物版本是拿某點的現在跟另一點稍晚的時刻相比。
為什麼這很強？因為它控制振盪，而控制振盪是通往正則性的大門。著名的德喬治-納許-莫澤定理證明，係數只要有界（不必光滑）的橢圓方程，其解就自動是赫爾德連續的，而莫澤證明的核心正是一個哈納克不等式。它也一筆給出劉維爾定理（整個空間上的正調和函數必為常數），以及正解序列的收斂結果。
若某區域上一個正的調和溫度在某內部點讀到 4 度，則在同一緊緻核心內任何鄰近的內部點，它必定讀到至少 4/C、至多 4C 度，其中 C 由幾何固定。知道一點的值，就把所有點的大小都框住了。
在緊緻的內部集上，正解的最大與最小最多相差一個幾何常數。
正性是關鍵——哈納克對變號的解什麼都沒說，因為你無法用一個可能為零或負的最小值去界定最大值。而在拋物情形，不等式在時間上是單向的：你拿某點較早的值跟另一點較晚的值比，絕不能反過來。