格羅莫夫-威滕不變量（Gromov-Witten invariants）

在一個複流形或辛流形上，有多少給定次數的曲線通過給定的一組點、或落在給定的同調類中？「平面上通過五點的圓錐曲線有幾條？」（答案：1）是玩具版本；現代、難得多的版本在卡拉比-丘三維流形與其他空間上問同樣的問題。格羅莫夫-威滕不變量是嚴格的答案：它們是「計數」給定類型全純曲線的數，定義成使該計數成為形變不變量——它不隨你擾動幾何而改變——這正是使它成為真正不變量、而非位置之偶然的原因。

以下是構造的綱要。固定一個辛流形（或光滑射影簇）X，配上一個相容的殆複結構 J。一條 J-全純曲線是一個從虧格 g 的黎曼曲面 Sigma 映到 X 的映射 u，滿足柯西-黎曼方程 du . j = J . du——這是全純函數的高維類比。為得到有限、定義良好的計數，你用 Gromov 緊性定理把這類映射的空間緊化（J-曲線的序列收斂到「穩定映射」，可能帶有起泡的球面與結點定義域）；這給出穩定映射的模空間 M-bar_{g,n}(X, beta)，即虧格 g、帶 n 個標記點、處於同調類 beta 中的曲線。格羅莫夫-威滕不變量便是在此模空間（的虛擬基本類）上對經由標記點處賦值映射拉回的上同調類的積分——具體地，它計算處於類 beta 中、通過指定閉鏈的虧格 g 曲線的期望數目。虧格零不變量是鏡像對稱所預言的有理曲線計數；把它們全部組裝成一個生成函數便得到量子上同調環，即由曲線計數資料對普通杯積的一個形變。

為何它們重要：格羅莫夫-威滕不變量是鏡像對稱中曲線計數的數學內容、定義量子上同調，並連結辛拓樸、代數幾何與弦論；同一批不變量可以辛地計算（格羅莫夫-威滕）或代數地計算（經由 C 上穩定映射的模）。誠實的提醒很重大。其一，GW 不變量一般是有理數而非整數——它們是加權計數，其中多重覆疊與曲線的自同構貢獻分數量，故稱它們為「曲線的數目」是個有用卻字面為假的口號（整數枚舉計數，當其存在時，需要額外論證來萃取；BPS／Gopakumar-Vafa 重組恢復整數）。其二，嚴格定義該積分需要虛擬基本類，因為穩定映射的模空間通常奇異且維數不對——這是嚴肅的技術（Li-Tian、Behrend-Fantechi，以及辛範疇中的 Fukaya-Ono／Hofer-Wysocki-Zehnder 多重摺），而樸素的「就計數解」並非定義良好。其三，調查意義下的 GW 不變量大致是高虧格與卡拉比-丘的前沿，有許多開放問題；本條目是一個定向，而非一個封閉的理論。