格羅莫夫不擠壓定理（Gromov non-squeezing theorem）
/ GROH-mof /
這裡有個聽起來應該很簡單的問題。你能否取一個相空間的圓球，僅用保體積的運動，把它從一個狹窄開口擠進一根體積相同的細長管子裡？對流體答案顯然是肯定的——把它拉得又長又細。但若你必須保持辛結構（一切力學都如此），格羅莫夫不擠壓定理說不行：有一道單憑體積看不見的隱形障礙。辛球根本無法被擠進半徑更小的圓柱，無論圓柱多長。
精確地說，在 (R^{2n}, omega_0) 中考慮半徑 r 的球 B(r) 與圓柱 Z(R) = {x_1^2 + y_1^2 < R^2}（第一個辛座標平面中半徑 R 的圓盤，乘以整個 R^{2n-2}）。格羅莫夫定理（1985）陳述：存在 B(r) 到 Z(R) 的辛嵌入，當且僅當 r <= R。圓柱的半徑——只捕捉單一個二維辛橫截面——是絕對的屏障，儘管 Z(R) 有無窮體積，且當 r > R 時能輕易以保體積映射吞下 B(r)。其證明把擬全純曲線引入辛拓樸：人們找到一條穿過嵌入球任一點的 J-全純圓盤，其辛面積下界為 pi r^2、上界為 pi R^2，逼出 r <= R。這單一論證開創了現代辛拓樸。
為何重要：不擠壓是「在 2n > 2 維中辛同胚嚴格地比保體積映射更剛硬」最乾淨的證明——Symp 與保體積群之間的鴻溝是真實且可衡量的。它是辛容量的起源（最大可嵌入球的格羅莫夫寬度 c(M) = pi r^2 是容量的原型，在辛映射下單調且共形），且有一個引人注目的物理解讀，有時稱為「辛駱駝」：一團相空間無法穿過比其辛寬度更小的孔，這是純古典層面上一個類似量子不確定性的約束。一個提醒：此陳述特指辛嵌入進橫截面為辛二平面的圓柱 Z(R)；若細的方向跨互補方向配對（例如一個 q-方向與它自己的 p），則擠壓是可能的，所以選哪個二平面作為圓柱的橫截面至關重要且不可互換。
在座標為 (x_1, y_1, x_2, y_2) 的 (R^4, omega_0) 中，你永遠無法把球 B(2)（半徑 2）辛地映進圓柱 Z(1) = {x_1^2 + y_1^2 < 1}，儘管 Z(1) 有無窮體積而 B(2) 有有限體積。但你確實能把 B(2) 映進小半徑的「錯誤」圓柱 {x_1^2 + x_2^2 < 1}，因為那個橫截面混了一個 x 與另一個 x——它不是辛二平面（omega_0 限制到它上面消失），所以不擠壓在那裡不適用。
B(r) 辛嵌入 Z(R) 當且僅當 r <= R——橫截面必須是辛二平面。
障礙是辛的，不是體積的：Z(R) 有無窮體積，所以屏障 r <= R 不可能來自體積。且它取決於圓柱橫截面為辛二平面——若穿過混合的（等向）橫截面，定理隻字不提。