達布定理（Darboux's theorem）
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黎曼幾何有曲率：即使在最小的小塊裡，彎曲的曲面也不是平的，曲率是區分一種幾何與另一種的局部指紋。達布定理說辛幾何截然不同。在任何辛流形的任何地方放大，它看起來都恰好像標準模型 R^{2n} 配 omega = sum dp_i ^ dq_i。根本沒有局部指紋——給定維數的每個辛流形在局部都與其他辛流形無法區分。
精確地說，達布定理陳述：若 (M, omega) 是 2n 維辛流形，則在每一點 p 附近都存在局部座標 (q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n)，稱為達布座標，使得 omega = sum_{i=1}^n dp_i ^ dq_i。其證明是莫澤技巧的巧妙應用：在真實形式與模型之間內插 omega_t = omega_0 + t(omega_1 - omega_0)，並利用兩者皆閉來求解一個依時間的向量場，其流把其中一個拉到另一個上。閉性（d omega = 0）正是使此偏微分方程可解的假設；非退化讓你能反轉 omega 以定義那個向量場。
其推論重塑了整個學科。因為沒有局部不變量——沒有曲率的辛類比——辛幾何的所有內容都是整體的、拓樸的。像「這塊區域能否嵌入那塊？」（格羅莫夫不擠壓）或「這個映射必有多少不動點？」（阿諾德猜想、弗洛爾理論）這類問題，取代了黎曼幾何的局部曲率問題。一個常見誤解是去尋找「局部辛曲率」或某種逐點辛不變量：根本沒有，而達布定理恰恰就是「這種尋找徒勞無功」的陳述。
取任一辛曲面（帶面積形式 omega 的二維流形）。達布定理說在任一點附近你都能找到座標 (q, p) 使 omega = dp ^ dq——亦即面積形式變成標準的那個。具體來說，在配有圓面積形式的球面 S^2 上，沒有哪一點在辛意義下「特別彎曲」：每一點都有一個鄰域，辛同胚於 (R^2, dp ^ dq) 的平坦小塊。對比 S^2 上的圓度量，那裡高斯曲率處處是不為零的逐點不變量。
每個辛小塊都是標準模型：局部 omega = sum dp_i ^ dq_i，沒有曲率可偵測。
達布定理純屬局部。它並未說兩個辛流形整體上辛同胚，也未說給定區域之間存在辛嵌入——那些整體問題恰恰是不擠壓與容量所在的內容。局部平凡與豐富的整體剛性並存。