Freidlin-Wentzell 理論（Freidlin-Wentzell theory）
/ FRAYD-lin VENT-sel /
Freidlin-Wentzell 理論是小雜訊擴散的大偏差理論：其雜訊在某極限下消失的隨機微分方程。它回答主導應用隨機學的問題——受微小隨機驅動的系統如何逃離穩定平衡、逃離時走哪條路、以及通常要等多久？這些罕見逃逸是化學反應速率、亞穩相變、氣候臨界翻轉與含噪工程系統失效的基礎，它們在自然時間尺度上全是指數罕見的。
考慮隨機微分方程 dX = b(X) dt + sqrt(epsilon) sigma(X) dB，其中 epsilon -> 0；在 epsilon = 0 時解是確定性流 dx = b(x) dt。Freidlin-Wentzell 陳述 X^epsilon 的分布在路徑空間上滿足速度為 1/epsilon、良好速率函數為作用泛函的大偏差原理，對絕對連續的 phi 有 I(phi) = (1/2) integral of (phi'(t) - b(phi(t)))^T a(phi(t))^(-1) (phi'(t) - b(phi(t))) dt（其中 a = sigma sigma^T 為擴散矩陣），否則為 +無窮。被積函數衡量在每一瞬間雜訊須多用力才能使路徑偏離漂移 b；最低成本的偏差是恰好填補 phi' 與漂移之間差距的雜訊。此速率函數由把 Schilder 的布朗大偏差原理通過隨機微分方程的（連續）解映射收縮而得。
由作用泛函，理論提取準位勢 V(x_0, x) = 在任意時間內從 x_0 到 x 的路徑上對 I(phi) 取下確界，它支配一切。從穩定點吸引域逸出的期望時間以 e^(V/epsilon) 增長（Eyring-Kramers／Arrhenius 律，前因子需更精細分析），最可能的逸出點是 V 在邊界上最小之處，而在多阱地景中，井間的長時跳躍成為一個速率由準位勢障壁設定的馬可夫跳躍過程。一個關鍵告誡：乾淨的大偏差原理要求非退化（一致橢圓）擴散 a，或亞橢圓性；在退化情形下，速率函數與逸出漸近遠為微妙。
對雙阱位勢 U 中的粒子，dX = -U'(X) dt + sqrt(epsilon) dB，路徑的作用等於 (1/2) integral (phi' + U'(phi))^2 dt。越過障壁的最低成本逃逸沿時間反演的下坡路徑，給出準位勢 V = 2 *（障壁高度），故平均轉變時間以 e^(2 Delta U / epsilon) 縮放——Kramers 反應速率律，作為大偏差導出。
Freidlin-Wentzell：逃逸的成本為準位勢；逸出時間 ~ e^(V/epsilon)。
大偏差原理只給出逸出時間的指數階 e^(V/epsilon)；多項式／次指數前因子（Eyring-Kramers 修正）需另行分析。且作用泛函要求擴散非退化（或亞橢圓）；退化雜訊會破壞乾淨的 a^(-1) 反矩陣形式。