自由卷積（free convolution）

自由卷積是回答自由機率核心計算問題的運算：給定兩個大型自由隨機矩陣 A 與 B 的特徵值分布，它們的和 A + B（或對乘法版本，乘積）的特徵值分布是什麼？在古典機率中，獨立變數之和的律是其律的普通卷積，易於計算，因為特徵函數相乘。自由機率有它自己的卷積，加法寫作 mu_A box-plus mu_B，以及它自己使之線性化的變換——但運算本身確實不同於古典卷積，並給出確實不同的答案。

兩個機率測度 mu 與 nu 的自由加法卷積 mu box-plus nu，依定義，是當 A_N 具有極限譜 mu、B_N 具有極限譜 nu 且兩者漸近自由時，A_N + B_N 的極限特徵值分布。要點在於存在一個變換把此複雜運算化為簡單加法，恰如特徵函數的對數（累積量母函數）把古典卷積化為加法。那個變換是 R 變換：R_{mu box-plus nu} = R_mu + R_nu。故要自由卷積兩個測度，你計算各自的 R 變換、相加、再反演。亦有自由乘法卷積 mu box-times nu，即 A_N^{1/2} B_N A_N^{1/2} 之類乘積的極限譜（當一個因子為正時與 A_N B_N 有相同特徵值），它由另一個變換 S 變換線性化，使相關變換相乘而非相加。

自由卷積是理論的實用引擎。具有一般（非單位）母體共變異數 Sigma 的樣本共變異數矩陣的馬爾欽科-帕斯圖爾律，正是標準 MP 律與 Sigma 譜的自由乘法卷積——這就是你預測真實、有結構的資料其特徵值譜的方法。它也讓你「解卷積」：給定觀測到的（含雜訊）譜，自由反卷積恢復真實的母體譜，這是現代譜估計方法的基礎。一個不可拋棄的注意事項：自由卷積僅在 A 與 B 自由時才計算 A + B 的譜，對隨機矩陣而言這需要它們的特徵向量處於一般相對位置。若你天真地對恰好共享特徵向量的矩陣之兩個譜做自由卷積，你會得到錯誤答案；那裡正確的答案是聯合特徵值的古典卷積。自由卷積恰恰是在自由性假設下和的律，而非一般情形。