反演公式（inversion formula）
特徵函數把一個分布變成一個函數 phi_X(t)。隨之而來一個自然的擔憂：我們有沒有遺失什麼？若只保留 phi_X，我們總能重建原本的分布嗎，還是這個編碼是單向的？反演公式給出令人安心的答案——這個編碼完全可逆。正如一個訊號的傅立葉變換能被反演以還原訊號，特徵函數也能被反演以還原分布。
其精神如下。特徵函數 phi_X(t) = E[e^(itX)] 是把旋轉的波 e^(itX) 對著分布平均而建成的。要回去，你就用 phi_X(t) 當權重，把那些同樣的波加總，重新組裝出分布。當 X 有密度 f 時，反演公式寫作 f(x) = (1/2pi) 乘以從 -infinity 到 infinity 對 e^(-itx) phi_X(t) dt 的積分。把它讀成一道食譜：每個頻率 t 貢獻一個波 e^(-itx)，特徵函數告訴你該摻入多少那個頻率，而對所有頻率積分就一點一點重建出密度曲線。還有一個更一般的版本，即使沒有密度也能還原累積分布函數，所以反演對任何分布都管用，不只限於平滑的。
你很少會手算這個積分——它真正的工作是觀念上的。它證明了特徵函數什麼也沒遺失，這正是唯一性為真的原因：若反演總是回傳那唯一的原始分布，那麼兩個有相同特徵函數的分布必定相同。所以反演公式是整個變換方法底下那個沉默的保證。實務上，要帶走的教訓很簡單：phi_X 與分布是同一份資訊的兩種編碼，可在兩個方向間自由轉換。
若有人交給你 phi_X(t) = e^(-t^2/2) 而你想要密度，把它代入 f(x) = (1/2pi) 對 e^(-itx) e^(-t^2/2) dt 積分；這個積分算出 (1/sqrt(2pi)) e^(-x^2/2)，即標準常態密度。反演已從變換重建出鐘形曲線。
反演從 phi_X 重建分布——證明特徵函數沒有遺失任何資訊。
你幾乎從不會在實務上去算這個反演積分；它的重要性是理論上的——它保證了特徵函數可逆，因而唯一性成立。