浮點數模型

在推理誤差之前，數值分析學家先就「電腦究竟存了什麼」達成一個乾淨的數學圖像。浮點數模型就是這個圖像：每個機器數都具有 value = ±d.ddd...d * base^e 的形式——一個符號、一串有效數字（即尾數／假數，significand），以及一個讓基數點滑動的指數。在以 2 為基底、尾數位元數固定且指數有界的情形下，這描述出一個有限、離散的可表示數集合 F。

關於 F 有兩個最重要的事實。第一，F 是「有限」的：存在最大與最小的正值，且兩者之間只有有限多個數，所以大多數實數都必須被捨入到 F 中最接近的成員。第二，F 的間距「不均」：在 1 附近間隔極小，在一百萬附近間隔較大，在十億分之一附近間隔更小，因為每一步約為 base^e，而指數隨數值大小增長。這張網格以對數方式延展，給出的是大致恆定的「相對」間距，而非恆定的絕對間距。

此模型的回報是「捨入運算的標準模型」：把任意實數 x 捨入到最接近的機器數，記為 fl(x)，滿足 fl(x) = x(1 + delta) 且 |delta| <= u，同樣地 fl(x op y) = (x op y)(1 + delta)。這個不等式逐運算套用，是所有捨入誤差分析的基石：它讓你不必追蹤個別位元就能界定整個演算法的誤差，也正是它使「此方法向後穩定」這類陳述可被證明，而非僅是期望。