有限差分公式（finite-difference formula）
如果你只知道函數在幾個等距點上的高度——就像尺上的刻度——要怎麼還原它的斜率或曲率？你把這些高度配上精心挑選的正負權重相加，讓常數項與線性項互相抵消，只留下你要的導數。這個加權組合就是有限差分公式：用取樣值的純算術重建出的導數。
權重從哪裡來？泰勒定理。展開 f(x + h) = f(x) + h f'(x) + (h^2/2) f''(x) + ...，並對 f(x - h) 做同樣展開（奇次項變號）。把它們相加或相減，消去你不要的項。相減得到 f(x + h) - f(x - h) = 2 h f'(x) + (h^3/3) f'''(x) + ...，於是 (f(x + h) - f(x - h)) / (2h) = f'(x) + O(h^2)：這就是中心一階導數公式，精度為 h^2 階。把兩式相加再整理得到二階導數樣板 (f(x + h) - 2 f(x) + f(x - h)) / h^2 = f''(x) + O(h^2)。此模式可推廣：選定取樣點數目（一個樣板）與要求哪一階導數，解一個極小的線性方程組求權重，再從泰勒展開殘留的領頭項讀出精度階數。
這些公式是計算微積分的字母表——每一個解 ODE 與 PDE 的有限差分格式都由它們組裝而成，也讓你能對沒有公式的量測資料求導。誠實的提醒有兩點：它們的精度只是某個階數 p 的 O(h^p)，永遠給不出精確導數；而且它們繼承了步長的取捨，因為一味縮小 h 去追那個 O(h^p) 項，最終會釋放出抵消造成的捨入誤差。在資料範圍的邊緣，無法跨到 x 兩側時，就需要單邊（前向、後向）公式。
用於左邊緣的三點單邊 f'(x) 公式：(-3 f(x) + 4 f(x + h) - f(x + 2h)) / (2h) = f'(x) + O(h^2)。它的權重 -3、4、-1 除以 2h，正是讓 h^0 與 h^1 的泰勒項抵消的那組數字，於是不必跨到 x 左側就達到二階精度。
權重的選法使不要的泰勒項抵消，從而定下精度階數。
點越多通常換來越高的階數，但並非免費：較寬的樣板對資料雜訊更敏感，而當點數超過 f 的光滑程度時也不會有實質收益。階數 O(h^p) 只描述截斷誤差——它對「h 能有用地縮到多小」的捨入限制隻字未提。