截斷誤差

截斷誤差是你把無窮或連續的數學過程，砍成有限、可計算的過程時所犯的誤差——精確數學運算，與你拿來取代它的有限程序之間的差。它是方法本身的誤差，即使在完全沒有捨入的完美機器上也存在。

每當你在幾項後停下一個無窮和，或用有限步長近似取代一個極限時，它就出現。泰勒定理是常用的視角：用 f(x) + h f'(x) 近似 f(x+h)，你就丟掉了尾巴 h^2 f''(x)/2 + ...，故截斷誤差是 O(h^2)。前向差分 (f(x+h) - f(x))/h 估計 f'(x) 的誤差是 O(h)；中心差分 (f(x+h) - f(x-h))/(2h) 更好，誤差是 O(h^2)。O(h^p) 中的指數 p 是精度階：p 越高，截斷誤差隨步長 h 縮小時消失得越快——把 h 減半，O(h^2) 的誤差就減為 1/4。

截斷誤差是你能靠設計控制的那一個：取更多項、用更小的步長、或選更高階的方法，它就可預測地下降。這使它成為最友善的誤差——但它並非獨居。一味縮小 h 不會一直有幫助，因為當 h 變得極小時捨入誤差會增大；兩者相互權衡，聰明的步長是平衡它們，而非盲目地把截斷誤差最小化。