鏈的費曼-卡茨公式（Feynman-Kac formula for chains）
/ FYNE-muhn KATS /
鏈的費曼-卡茨公式是連續時間馬可夫鏈與一個由其生成元加上位勢（一個狀態相依的殺死或折現速率）所構成的線性演化方程之間的橋樑。它把形如 (du/dt) = (Q + V) u 的方程之解——其中 V 是對角的「位勢」——表示為對鏈取期望、並以沿其路徑累積的位勢之指數加權。它是把偏微分方程與布朗運動相聯繫的擴散費曼-卡茨公式在離散狀態下的對應物。
令 X_t 為以 Q 為生成元的 CTMC，令 V(i) 為實值位勢（可把 -V(i) >= 0 想成殺死速率，或把 V 想成折現），令 f 與 g 為狀態空間上的函數。費曼-卡茨公式把函數 u(i, t) = E_i[ exp( integral_0^t V(X_s) ds ) f(X_t) ] 表示為後向方程 du/dt = Q u + V u（初始條件 u(., 0) = f，其中 V 作為乘以 V(i) 的算子）的解。直覺如下：鏈的路徑累積一個權重 exp(integral V(X_s) ds)；當 V <= 0 時這恰是一個在狀態 i 時以速率 -V(i) 被殺死之鏈的存活機率，故 u(i,t) = E_i[f(X_t); 鏈尚未被殺死]。一個平穩版本處理折現的無窮時域泛函：對折現率 alpha > 0，預解式 w(i) = E_i[ integral_0^infinity e^(-alpha t) g(X_t) dt ] 滿足 (alpha I - Q) w = g，即費曼-卡茨的線性代數形式。這些表示把線性系統化為期望，反之亦然。
此公式是大型線性系統蒙地卡羅求解、粒子濾波與序貫蒙地卡羅、透射／吸收問題、以及可加泛函（如總報酬或總成本）分析背後的引擎。兩點誠實的說明。機率表示需要可積性——期望必須有限，若 V 過於正（權重爆炸）或鏈在時間 t 前爆炸，可能失效；殺死詮釋（V <= 0）是安全、永遠有限的情形。又，費曼-卡茨是一種表示，並非神奇求解器：它把確定性線性方程轉為一個（可能高變異的）隨機期望，唯有當抽樣鏈比直接解方程更容易時，其實用價值才得以實現。
期望總折現報酬：一個 CTMC 在狀態 i 每單位時間賺取報酬 g(i)，以速率 alpha 折現。其價值 w(i) = E_i[integral_0^infinity e^(-alpha t) g(X_t) dt] 滿足線性系統 (alpha I - Q) w = g——一個小型矩陣求逆，便給出無窮時域的期望。
折現費曼-卡茨：無窮時域的期望化為預解方程 (alpha I - Q) w = g。
此表示需要期望有限：過於正的位勢 V 或在時間 t 前爆炸可能使指數權重爆炸。殺死詮釋 V <= 0 是永遠有限的情形。費曼-卡茨以隨機期望換取確定性線性方程——唯有當抽樣比求解便宜時才有用。