尤拉剛體運動方程式（Euler's equations）
/ OY-ler /
尤拉方程式（Euler's equations）就是轉動版的牛頓第二定律，寫在唯一能保持簡單的座標系裡：物體自己的旋轉座標系。它們所解決的問題是：在固定的實驗室座標系中，翻滾物體的慣量張量會隨著物體改變方位而不斷變化，這極難處理。改為隨物體一同運動，慣量張量就被凍結了——代價是這個座標系現在會旋轉，而方程式必須把這一點納入考量。
出發點是：在慣性座標系中，力矩等於角動量的變化率，N = (dL/dt)_inertial。把此時間導數轉換到旋轉的本體座標系，得到 (dL/dt)_body + omega x L = N。取主軸作為本體座標系，使得 L_i = I_i omega_i，便得到三條尤拉方程式：I_1 omega_1_dot - (I_2 - I_3) omega_2 omega_3 = N_1、I_2 omega_2_dot - (I_3 - I_1) omega_3 omega_1 = N_2、I_3 omega_3_dot - (I_1 - I_2) omega_1 omega_2 = N_3。由於 omega x L 這一項，它們是耦合且非線性的。
這些是處理每一個翻滾剛體的主力方程式：太空船姿態控制、小行星的自由轉動、被拋出球桿的擺晃。令力矩為零，它們就描述無力矩運動；對繞各主軸的穩定自轉作線性化，會揭示繞最大與最小慣量軸的轉動是穩定的、而中間軸不穩定——網球拍定理便直接由此導出。
對一個無力矩的對稱陀螺（I_1 = I_2、N = 0），尤拉第三方程給出 omega_3_dot = 0，因此繞對稱軸的自轉為常數；前兩式則變成 omega_1_dot = -Omega omega_2 與 omega_2_dot = +Omega omega_1，其中 Omega = (I_3 - I_1) omega_3 / I_1，描述 omega 在本體座標系中作穩定的圓形進動。
尤拉方程式把無力矩對稱陀螺化為等速自轉加上穩定的本體座標進動。
尤拉方程式中的 omega 各分量是在旋轉的本體座標系中量度的，不是實驗室座標系。解出它們得到的是本體座標系中的 omega；你仍需尤拉角才能重建物體在空間中真正的方位。