特徵值問題（eigenvalue problem）
撥動吉他弦，它不會以任意頻率振動——只在某些特殊音調上發聲，一個基音與它的泛音。對著瓶口吹氣，也只有特定音高會共鳴。大自然在被限制於兩個固定端之間時，只容許一份離散的、被允許的圖樣清單。特徵值問題就是這個普遍事實背後的數學：邊值問題中的一個參數只被允許取一組特殊的值，而在每個這樣的值上，一個特殊的形狀便出現。
標準範例是在 0 <= x <= L 上的 y'' + lambda y = 0 附 y(0) = 0 與 y(L) = 0，其中 lambda 是可調的數。對大多數 lambda，唯一的解是 y = 0。但把方程一般地解出來：若 lambda > 0，解是 sin(sqrt(lambda) x) 與 cos(sqrt(lambda) x) 的組合。條件 y(0) = 0 殺掉餘弦，剩下 y = c sin(sqrt(lambda) x)。接著條件 y(L) = 0 要求 sin(sqrt(lambda) L) = 0，這逼使 sqrt(lambda) L = n pi，其中 n 是整數。所以非平凡解只在 lambda = (n pi / L)^2（n = 1, 2, 3, ...）時存在。這些被允許的 lambda 值就是特徵值，而相配的形狀 sin(n pi x / L) 就是特徵函數。
這個名稱與想法直接來自線性代數，那裡 A x = lambda x 問的是矩陣只把它伸縮的那些特殊向量。這裡矩陣被換成微分算子「對 y 取二階導數（並帶這些邊界條件）」，向量被換成函數，而特殊值 lambda 仍然是那些使非零「特徵向量」（現在是特徵函數）存在的值。這個問題是振動分析、量子能階、熱傳導模態、以及每個古典偏微分方程之分離變數解的引擎。
對 y'' + lambda y = 0 附 y(0) = 0、y(pi) = 0，特徵值為 lambda_n = n^2（n = 1, 2, 3, ...），特徵函數為 y_n = sin(n x)。驗證：y_2 = sin(2x) 給出 y'' = -4 sin(2x) = -4 y，與 lambda = 4 = 2^2 相符，且 sin(2·0) = sin(2·pi) = 0。
只有離散值 lambda_n = n^2 容許非零解；每一個都帶著自己的特徵函數 sin(n x)。
符號很重要：對 y'' + lambda y = 0 附這些兩端為零的條件，只有正的 lambda 給出非平凡解——lambda <= 0 逼使 y = 0。務必明確檢查 lambda < 0 與 lambda = 0 的情形，而非假定正弦一定會出現。