特徵函數（eigenfunction）
想想一條振動的弦會落入的自然形狀：先是一個平滑的單峰，然後是中間有個靜止點的雙峰，接著三峰，依此類推。每一個都是弦能維持、並在其中振盪而不改變形態的自洽圖樣。特徵函數正是這樣一個特權形狀——屬於邊值問題某個被允許頻率的駐波圖樣。
確切地說，特徵函數是齊次邊值問題在其某個特殊參數值上的非平凡解。若特徵值問題是帶給定邊界條件的 L[y] = lambda y——其中 L 是某個微分算子，如取負二階導數——那麼對每個特徵值 lambda_n 都有一個特徵函數 y_n 滿足 L[y_n] = lambda_n y_n 與邊界條件。關鍵特徵是：算子並不把函數扭曲成新的形狀，它只是把它乘以數 lambda_n。對 [0, L] 上兩端為零的 y'' + lambda y = 0，特徵函數是 y_n = sin(n pi x / L)，各自有其拱數。
特徵函數之所以強大，在於它們構成一個完備且彼此正交的集合：區間上幾乎任何合理的函數都能寫成它們之和，正如普通的傅立葉級數用正弦與餘弦重建一個訊號。這就是為什麼它們是求解熱方程、波動方程與薛丁格方程的天然積木。一點提醒：特徵函數只確定到一個常數倍數——若 y_n 成立，則 5 y_n 也成立——所以人們通常把它歸一化（重新縮放使其加權長度為 1）以選定一個標準代表。
對 [0, 1] 上附 y(0) = y(1) = 0 的 y'' + lambda y = 0，對應 lambda = 4 pi^2 的特徵函數是 y = sin(2 pi x)：它上升，在 x = 1/2 處回到零，下沉，再在 x = 1 處回到零——兩個拱。求兩次導得 y'' = -4 pi^2 sin(2 pi x)，所以算子只是把 y 乘以 -4 pi^2。
第 n 個特徵函數恰有 n 個拱與 n-1 個內部零點——清楚地標示出它屬於哪個特徵值。
特徵函數必須是非平凡的：零函數 y = 0 在技術上對每個 lambda 都滿足 L[0] = lambda·0，但它依定義被排除，否則每個數都會是特徵值，這個概念便會崩潰。