離散平均曲率（discrete mean curvature）

光滑曲面上的平均曲率量度曲面平均而言向內或向外彎曲多少——肥皂膜把這個量做成零。要在三角網格上得到一個誠實的離散版本，訣竅不是去擬合一個光滑曲面再微分，而是去問：曲面想往哪個方向、以多強的力道移動，才能最快縮小自己的面積？那個方向與力道就是離散平均曲率法向量，而它由餘切公式自然導出。

最乾淨的定義使用曲面面積的梯度。對一個有鄰居 v_j 的頂點 v_i，離散平均曲率法向量為 H(v_i) * N = (1 / (2*A_i)) * 對鄰居 j 求和 (cot(alpha_ij) + cot(beta_ij)) * (v_i - v_j)，其中 alpha_ij 與 beta_ij 是邊 (i, j) 在共有它的兩個三角形中所對的兩個角，A_i 是 v_i 周圍對偶胞腔的面積（常取 Voronoi 或混合面積）。這個向量沿曲面法向，其長度是平均曲率大小，而且——關鍵地——它恰好是總面積對 v_i 的梯度的相反數。所以平均曲率流，亦即把每個頂點往面積下降最快的方向移動，字面上就是 d v_i / dt = -H(v_i)*N，而這同一個餘切表達式正是餘切拉普拉斯算子作用在座標函數上。

離散平均曲率是網格平滑、整流（fairing）與極小曲面計算的引擎：一個網格在離散意義下為極小，恰當此向量在每個頂點都消失時，即離散肥皂膜條件。有兩個誠實點要緊。第一，平均曲率是外蘊的——不同於內蘊的角虧，它取決於曲面如何擺在 R^3 中，故並非僅由邊長決定，而由實際頂點位置決定。第二，存在數種互相競爭的離散化（餘切／面積梯度式、施泰納／基於邊的法向圈方法等），它們在細化極限下一致，但在粗網格上彼此不同；別假定兩套程式碼的「平均曲率」場是同一個物件。