轉換的微分規則（differentiation rule）
這裡是那個讓轉換值得費這番功夫的單一事實。微分很難：它是極限、是局部運算，是把漂亮方程變成微分方程的元兇。在傅立葉轉換之下，這個困難的運算卻變成世上最容易的事——乘上一個數。對 x 微分，對應於把轉換乘上 i*xi。正是這一次代換，使得 x 中的偏微分方程化為 xi 中的代數問題。
精確地說：若 f-hat(xi) 是 f(x) 的傅立葉轉換，則導數 f'(x) 的轉換為 i*xi 乘 f-hat(xi)；二階導數 f''(x) 的轉換為 (i*xi)^2 f-hat(xi) = -xi^2 f-hat(xi)；一般而言，n 階導數會帶上一個 (i*xi)^n 因子。用一次分部積分就能看出原因：integral of f'(x) e^(-i*xi*x) dx，分部積分並利用 f 在無窮遠處衰減，把導數丟到指數上，而 d/dx of e^(-i*xi*x) 為 -i*xi e^(-i*xi*x)——i*xi 因子便冒了出來。f 在無窮遠處的衰減，正是消去邊界項、使規則乾淨的關鍵。
對偏微分方程而言，回報立竿見影。在空間上對 u_xx 取轉換，它變成 -xi^2 u-hat。於是這門學科裡最雜亂的算子拉普拉斯算子，在頻率中變成單純地乘上 -|xi|^2。熱方程的 u_t = k u_xx 變成 u-hat_t = -k*xi^2 u-hat，一個常微分方程；波動方程的 u_tt = c^2 u_xx 變成 u-hat_tt = -c^2 xi^2 u-hat，對每個頻率而言是一個諧振子。那個乘上 u-hat、作為 xi 之函數的數，就是該算子的符號（symbol），讀出這個數正是你得到色散關係的方式。
在 x 上對波動方程 u_tt = c^2 u_xx 取轉換：右側變成 c^2 (i*xi)^2 u-hat = -c^2 xi^2 u-hat，於是 u-hat_tt = -c^2 xi^2 u-hat。每個頻率 xi 都像彈簧一樣以角頻率 omega = c|xi| 振盪，給出 u-hat(xi,t) = A cos(c|xi| t) + B sin(c|xi| t)。反轉並合併後，便還原出達朗貝爾的左行波與右行波。
每一個 x 導數都要付一個 i*xi 因子，把偏微分方程化為頻率中的常微分方程。
這條規則依賴函數（及其足夠多的導數）在無窮遠處衰減，使分部積分產生的邊界項消失。對於不衰減的資料，你得轉到分布理論，那裡同樣的 i*xi 規則仍然成立，但需要更廣的理論來支持。