細緻平衡與可逆鏈（detailed balance and reversible chains）

想像把一條處於平衡的鏈拍成影片，然後倒著放。若倒放的影片在統計上與正放難以分辨 —— 相同的轉移統計 —— 則稱這條鏈可逆，它滿足一種比單純平穩更強、更漂亮的平衡。細緻平衡這個條件是說，在平衡時，從 i 到 j 的機率流恰好等於從 j 回到 i 的機率流，對每一對狀態都成立。

細緻平衡方程是 pi(i) P(i, j) = pi(j) P(j, i)，對所有狀態 i 與 j 成立。左邊是平衡時機率由 i 越往 j 的速率；右邊是由 j 回到 i 的速率。要求對每一對都相等，遠比普通平衡（只要求流入每個狀態的「總量」等於流出）強得多。關鍵的收穫是：若分布 pi 與 P 滿足細緻平衡，則 pi 自動平穩 —— 把細緻平衡方程對 i 加總，便白白還原出 pi P = pi。

這給了一個極其便利的方法來驗證或設計平衡。你不必去解完整的線性系統 pi P = pi，只要檢查成對的方程，這往往簡單得多。可逆性是 Metropolis-Hastings 演算法背後的引擎：它刻意對一個想要的目標 pi 強制施加細緻平衡來建構一條鏈，從而保證 pi 是平穩分布。不過要留意：許多完全合用的平穩鏈「並非」可逆 —— 細緻平衡對平穩而言充分但不必要。