對點源的回應（response to a point source）

在鼓面上某一點敲一下、又快又重，然後聽：傳出的聲音就是鼓對那一下的回答。如果你知道系統對「單一一下尖銳敲擊」如何回答，就能預測它對任意敲打節奏的回答，因為任何節奏不過是許多在不同時間、不同位置、不同力度的敲擊，而線性系統只是把各自的回答相加。對點源的回應，正是每個格林函數背後的核心想法：對一次理想化的戳一下把問題解一次，你就把它對所有源都解了。

那個理想化的戳，就是狄拉克 δ：delta(x - y)——完全集中在點 y 的源，總強度為一、寬度為零。系統的回答是 G(x, y)，即在 x 處感受到的、對位於 y 的單位源的回應；這正是算子方程 L G(., y) = delta(. - y) 所要求的。魔法在於疊加。把一般源 f 寫成點源的連續和：f(x) = integral of f(y) delta(x - y) dy。對每一個點源施以同一個回答、以 f(y) 加權，再相加：解就是 u(x) = integral of G(x, y) f(y) dy。所以「對一個 delta 求解，再與真正的源做積分」一句話就是整個方法。

為何重要：它把「解微分方程」轉化為「做積分」。它也給了答案一個物理讀法——u(x) 字面上就是每一小塊源 f(y) 的影響的總和，每一塊都透過通道 G(x, y) 被感受到。陷阱在於這方法建立在線性（疊加）之上，也建立在 delta 是合法理想化之上；對非線性方程你不能把回應相加，點源法不適用。也要注意 delta 是分布而非函數——沒有任何普通函數能在除一點外處處為零、卻又積分為一——所以這要在分布的語言中才嚴格成立。