圍道的形變（deformation of contours）

這裡有一個由柯西定理推出的實用超能力：你可以自由地彎曲、滑動並重塑圍道而不改變積分，只要你掃過的那部分平面是 f 保持解析之處。積分只在意路徑的同倫類——它圈住了什麼——而非它確切的形狀。這把醜陋的圍道變成方便的圍道。

具體地說，形變原理說：若兩條圍道（同樣的端點，或兩條封閉迴路）能透過 f 解析的區域連續滑動成彼此，則它們的積分相等。證明的想法是看新舊圍道之間掃出的細帶；那條帶位於無洞、解析的補丁中，故由柯西定理，沿其封閉邊界的積分為零，這迫使兩個圍道積分相符。對封閉迴路而言，結論是允許你把一條複雜的迴路替換成例如它所圈住的那一個奇點周圍的一個極小圓。

這是積分計算的日常主力。想求 f 繞一條圈住 z0 處單一極點的彆扭封閉曲線的積分？把該曲線收縮成一個緊貼 z0 的小圓——值不變，因為你掃過的區域無奇點——而小圓容易計算。你必須遵守的唯一規則是：不可把圍道拖過 f 不解析的點；奇點是形變無法穿越的牆，而試圖穿越它正是積分會跳變之處。