累積量母函數（cumulant generating function）
動差母函數是一座動差工廠，但動差在相加時組合得很笨拙——和的動差牽涉交叉項，瑣碎難纏。有一個對動差母函數的小小變招能修正這點，讓相加獨立變數變得幾乎不費力：取對數。這一步把動差母函數的乘法規則變成加法規則，而當你不斷堆疊獨立片段時，這正是你要的。
累積量母函數就是 K_X(t) = log(M_X(t)) = log E[e^(tX)]。為什麼要費事取對數？因為對獨立的 X 與 Y，動差母函數相乘，M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)，而乘積的對數是和，所以 K_{X+Y}(t) = K_X(t) + K_Y(t)。和的累積量母函數就是各累積量母函數的單純相加。把 K_X(t) 展成冪級數，K_X(t) = kappa_1 t + kappa_2 t^2/2! + kappa_3 t^3/3! + ...，係數 kappa_n 就是累積量，而因為整個累積量母函數可加，每一個累積量也都可加。頭兩個是熟面孔的化身：kappa_1 = E[X]（均值）與 kappa_2 = Var(X)（變異數）。
這種可加性正是累積量母函數成為研究和的自然工具的原因，也是通往中央極限定理最乾淨的路徑：當你把 n 個獨立同分布的副本相加，累積量母函數只是乘以 n，而在標準的重新縮放後，更高階的累積量逐漸縮沒，只留下均值與變異數——這是常態的簽名，因為常態是唯一一個第二階以後的累積量全為零的分布。與動差母函數相同的誠實提醒在此適用：累積量母函數需要動差母函數在 0 附近存在，所以對重尾變數它無法使用。
對 X ~ 常態(mu, sigma^2)，M_X(t) = e^(mu t + sigma^2 t^2/2)，故 K_X(t) = log M_X(t) = mu t + sigma^2 t^2/2。展開在 t^2 項之後戛然而止：kappa_1 = mu，kappa_2 = sigma^2，而每一個更高階累積量都恰好是 0——這是一個乾淨的簽名：第三階以後的累積量全消失就意味著「常態」。
K_X(t) = log M_X(t)：它的冪級數係數就是累積量，而對獨立和它是「相加」的。
累積量母函數承襲了動差母函數的限制：它需要動差母函數在 0 附近為有限。動差母函數不存在之處，累積量母函數也不存在。