格林函數（Green's function）

想像在一個邊界被接地（位勢為零）的區域內部某一點放置單一集中的源——一個點電荷、一個針尖大小的熱源。所產生的位勢作為你觀察位置的函數，就是該區域對那個源點的格林函數。它是基本響應：一旦你知道區域如何回應單一點源，便能藉由疊加它的拷貝建構出對幾乎任何源或邊界條件的答案。

對區域 D 及其內部固定的源點 z_0，格林函數 G(z, z_0) 是 z 的函數，它在 D 上除 z_0 外調和，當 z -> z_0 時恰如 -log|z - z_0| 般爆掉（點源的位勢，拉普拉斯方程的奇異解），且當 z 在 D 的邊界上時為零。結構整齊地分解：G(z, z_0) = -log|z - z_0| - h(z)，其中 h 是在 D 上、邊界值等於邊界上 -log|z - z_0| 的調和函數——所以求格林函數本身就是一個狄利克雷問題，為奇異部分的邊界跡解一次。在單位圓盤上有一個用莫比烏斯映射寫的乾淨閉式：G(z, z_0) = -log| (z - z_0) / (1 - (z_0-bar) z) |，其中分母把 z_0 反射到它在圓盤外的鏡像點，使整個式子在 |z| = 1 上為零。

格林函數是區域中位勢理論的萬能鑰匙。它給出 D 上狄利克雷問題之解的公式（G 在邊界上的法向導數就是該區域的帕松核），它產生區域的調和測度（一點看到多少邊界權重），且它在共形映射下以美妙簡單的方式變換（它是共形不變量），這讓你能把它在區域之間搬運。警告：具有這些乾淨性質的格林函數對好的區域存在，但對非常狂野的區域可能不存在（例如整個平面沒有格林函數，這與 -log|z| 在無窮遠處無處可消為零的事實相關）；它的存在本質上等價於該區域上狄利克雷問題的可解性。