複位勢（complex potential）
平面上的穩態物理場常成對出現：一個溫度與熱流線、一個電壓與電力線、一個流速與粒子會跟隨的流線。複位勢是把這樣一對的兩個成員打包成單一物件的那個解析函數，使整個問題能一次用複分析的工具處理。
從一個調和函數 phi（一個位勢——比方說平滑、無旋、不可壓縮流體流動的速度位勢）開始。因為 phi 調和，在好的區域上它有一個調和共軛 psi，兩者合成一個解析函數 Omega(z) = phi(x, y) + i psi(x, y)，即複位勢。這兩個實部有清晰的物理意義：等值曲線 phi = 常數是等位線（與流動垂直），等值曲線 psi = 常數是流線（流體實際跟隨的路徑）；psi 稱為流函數。更妙的是，流速由單一個導數讀出：複速度是 Omega'(z) 的共軛，所以 Omega'(z) = u - i v 打包了兩個速度分量，而 Omega'(z) = 0 之處便是駐點。聯繫 phi 與 psi 的柯西-黎曼方程，恰是流動無旋且無散的物理陳述。
這個想法的威力在於共形映射能把解搬來搬去。因為 Omega 解析，把它與一個共形映射複合，就把一個簡單區域上已知的流動（比方說繞過平板的均勻流，或半平面中的流動）送到一個複雜區域上的流動（繞過翼型的流動），等位線與流線都自動被帶著走——這正是茹科夫斯基翼型及其產生的升力的計算方式。誠實的範圍：複位勢的圖像特屬於二維、且特屬於既無旋又無源的場（使位勢調和）；真正三維的流動、或帶渦度或源的流動，並不這樣塌縮成單一個解析函數。
沿 x 方向速度為 U 的均勻流有複位勢 Omega(z) = U z = U x + i U y，所以 phi = U x（等位線為鉛直線）、流函數 psi = U y（流線為水平線）；速度為 Omega'(z) = U，即一個向右的常數流。
最簡單的複位勢 Omega = U z 描述均勻水平流，流線為 psi = U y。
複位勢僅當調和共軛在整體上存在時才作為單值函數存在——在多連通區域上（如帶環量繞障礙物的流動），Omega 可以是多值的，其虛部每繞障礙物一圈就跳躍一個環量；那個跳躍正是產生升力的東西。