差商（difference quotient）

在取導數之前，你需要一個誠實的「小步長上的平均變化率」——這個平均值就是差商。對複變函數而言，它是單一的表達式 (f(z) - f(z_0)) / (z - z_0)：輸出的變化除以輸入的變化，兩者都以複數量度。

務必把它讀作一次複數除法，而非兩個獨立的實分數。分子 f(z) - f(z_0) 是一個複位移（有長度也有方向），分母 z - z_0 是另一個複位移，相除即是把前者依後者旋轉並縮放。當 z 滑向 z_0 時步長縮小；若此差商無論趨近方向為何都穩定到一個確定的複數，該數便是複導數 f'(z_0)。

差商正是複分析剛性首次顯威之處。沿實軸時步長 z - z_0 為實數；沿虛軸時它為純虛數，故除以它隱含因子 1/i = -i。堅持兩條路徑給出「同一」極限，恰恰逼出柯西-黎曼方程——所以這個樸素的分數已蘊含整個理論的種子。