協變與逆變分量（covariant and contravariant components）

一旦時空有了帶負號的度規，替一個向量附上分量就出現了兩種自然的方式——而它們並不相等。「逆變」（上指標）與「協變」（下指標）分量，是同一個幾何物件的這兩種版本；度規就是在它們之間翻譯的字典。把指標位置弄對，是協變記帳中最重要的一環。

逆變分量 V^mu 是向量沿座標軸的一般展開（像位移的分量）；它們以勞侖茲矩陣變換，V'^mu = Lambda^mu_nu V^nu。協變分量 V_mu 則是用度規降下指標得到的，V_mu = eta_munu V^nu，並以逆矩陣變換——故稱「協變」（隨基底一同變化 co-variant）對「逆變」（與基底相反變化 contra-variant）。幾何上，逆變分量描述一個向量（箭矢），協變分量描述一個單形式（一疊等位面）。在 (+,-,-,-) 標記下，降指標會翻轉空間分量的符號：若 V^mu = (V^0, V)，則 V_mu = (V^0, -V)。

這套機制的重點在於不變量：一個構造正確的純量，總是把一個上指標與一個下指標縮併，A_mu B^mu = eta_munu A^mu B^nu，而這個縮併是勞侖茲不變的。愛因斯坦求和約定之所以把一個上指標與一個下指標求和，正是為此。要注意的常見陷阱：四維梯度 partial_mu = partial/partial x^mu 自然帶下指標，即使 x^mu 是上指標——微分會「降」指標——而在升降指標時忘記空間符號的翻轉，是相對論計算中最常見的錯誤符號來源。在純歐氏空間（全正號）中，這個區別會塌縮（V_mu = V^mu），這就是為什麼入門向量微積分從不需要它。