座標證明（coordinate proof）

座標證明不以綜合幾何那種古典的尺規與演繹推理來證明幾何定理，而是把圖形放上笛卡兒平面，以座標為其頂點命名，再硬算代數。這是笛卡兒之橋的實際回報：一個關於形狀的命題化為一項計算，而原本巧妙的作圖化為例行公事。

技巧幾乎全在布置：巧妙地擺放圖形，使代數保持輕省。把一個頂點放在原點，讓一邊沿 x 軸，並善用對稱，使盡可能多的座標為 0 或共用字母。然後把命題譯成計算——等長用距離公式、平行或垂直用斜率、中點用中點公式——並驗證方程式確實成立。關鍵在於：要證明一般定理，必須用一般座標（如 a、b、c 這類字母），而非特定數字：對頂點 (0,0)、(4,0)、(2,3) 的三角形驗證，只證了那一個情形，而 (0,0)、(2a,0)、(2b,2c) 則代表那種形狀的每一個三角形。

在綜合證明需要靈光一閃之處，座標證明卻奇妙地機械——三角形的中位線平行於底邊且為其一半的定理，幾行便落地。但誠實要求兩個提醒。其一，擺放圖形時不可暗中假設你打算證明的事（除非已給定，否則別靠選軸硬生出一個直角）。其二，座標方法把度量與接合的事實證得漂亮，卻可能遮蔽結果為何為真；綜合觀點與座標觀點是夥伴，各自照亮對方留在暗處的部分。