無窮乘積的收斂
你如何判斷無窮乘積 (1 + a_1)(1 + a_2) ... 究竟有沒有穩定下來？誠實的答案是用對數把乘法變成加法。對乘積取對數會得到一個和：log[(1+a_1) ... (1+a_N)] = log(1+a_1) + ... + log(1+a_N)。因此乘積收斂（到一個非零極限）恰好等價於級數 sum log(1 + a_n) 收斂。乘積的收斂其實是偽裝的級數收斂——你把困難的乘法問題換成熟悉的加法問題。
由於當 a 很小時 log(1 + a) 接近 a（泰勒展開 log(1 + a) = a - a^2/2 + ... ），乾淨的實用判準是：乘積 (1 + a_n) 「絕對收斂」恰好等價於級數 sum |a_n| 收斂。這正是你實際使用的判別法。它說：別管對數，只要檢查那些微小偏差 a_n 的模之和是否有限。若 sum |a_n| < infinity，乘積收斂到一個非零值，而且——關鍵地——你可以自由重排因子而不改變結果，正如絕對收斂的級數一樣。
兩點提醒使你保持誠實。第一，為使取對數那一步有意義，因子最終必須非零；允許有限多個真正為零的因子，它們只是讓乘積為 0（這正是函數零點的出現方式）。第二，此判準講的是絕對收斂；人們可以造出只條件收斂的乘積，其中因子的次序很重要，但在函數論裡我們幾乎總是刻意設計成絕對收斂，以便自由操作。要記住的口號是：sum |a_n| < infinity 是無窮乘積的安全港。
考慮對 n >= 1、在固定的 |z| < 2 的 z 處取 (1 + z^n / 2^n) 的乘積。此處 a_n = z^n / 2^n，故 |a_n| = (|z|/2)^n 是公比 < 1 的幾何級數，因此 sum |a_n| < infinity。於是乘積絕對收斂。相較之下，乘積 (1 + 1/n) 發散，因為 sum 1/n = infinity——其部分乘積像 N + 1 一樣無界增長。
乘積的絕對收斂化約為 |a_n| 的可加性；幾何尾項收斂，調和的則不然。
常見陷阱：n >= 2 時 (1 - 1/n) 的乘積各因子都嚴格介於 0 與 1 之間、且都接近 1，但它趨於 0、而非一個正的極限——因為 sum 1/n 發散。對乘積而言，趨於 0 算作「發散」，正是為了保持理論乾淨。