連續映射定理（the continuous mapping theorem）

一旦你確立了某個隨機序列收斂，自然的下一個問題是：它的變換版本如何？若 X_n 收斂到 X，那麼對一個你關心的函數 g——它的平方、對數、倒數——g(X_n) 會收斂到 g(X) 嗎？連續映射定理給出一個乾淨而寬容的「會」：連續函數會把收斂一併帶著走，在所有常見的模式裡都如此。

精確地說：若 g 是連續函數（或至少在 X 實際落腳的集合上以機率 1 連續），則 X_n 到 X 的收斂在 g 之下得以保持。若 X_n 依分布收斂到 X，則 g(X_n) 依分布收斂到 g(X)；依機率收斂與幾乎必然收斂亦然。直覺正是那個確定性的事實：連續函數保持極限——若 x_n 趨近 x 則 g(x_n) 趨近 g(x)——把它提升到隨機變數上。你套上你喜歡的 g，收斂就毫髮無損地騎著它通過。

這個聽來謙遜的結果是個主力。你正是靠它把關於和的 CLT 陳述，轉成關於（比方）其平方的陳述（給出變異數檢定背後的卡方極限），或靠它替「把一致估計量代入連續公式」這件事背書。要尊重的唯一要求：g 必須在「要緊之處」連續。一個恰好在極限點處有跳躍或爆掉的函數可以破壞結論——例如 g(x) = 1/x 在 X 從不為 0 時沒問題，但若極限可能坐在 0 處的不連續點上就危險了。