直線法（method of lines, MOL）
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解與時間相關的 PDE 意味著同時兼顧空間與時間的導數，這很彆扭。直線法是一個乾淨的分而治之技巧：「只」離散空間導數，讓時間保持連續。這把單一 PDE 轉成一個關於時間的大型常微分方程系統——每個格點的值一條 ODE——你接著把它交給任何現成的 ODE 求解器。你把一個二維問題拆成兩個你已會做的一維問題。
具體而言，取熱方程 u_t = alpha*u_xx。鋪一個空間網格，把節點 j 的 u_xx 換成中心二階差分 (u_{j-1} - 2u_j + u_{j+1})/h^2，但「別」碰時間導數。如今 u_j 仍是時間的函數，你對每個 j 有 du_j/dt = alpha*(u_{j-1} - 2u_j + u_{j+1})/h^2——一個 N 條 ODE 的耦合系統，精簡寫成 du/dt = A*u，其中 A 是（稀疏、三對角的）有限差分矩陣。名稱來自這幅圖像：每個格點在時間中描出一條「線」，你一起演化所有這些線。然後你選一個時間積分器：前向尤拉重現 FTCS，後向尤拉重現 BTCS，梯形法則重現克蘭克-尼科森，而龍格-庫塔或 BDF 法給你更高級的東西——全來自同一個半離散系統。
這個觀點的威力在於模組化與重用。你不必為每個 PDE 發明新的全離散格式，而是把空間離散（你選的模板）與時間積分（整套成熟的 ODE 求解器工具箱，連同其自適應步長控制、穩定區域、剛性處理）分開。它也釐清「為何」擴散的顯式格式如此受限：ODE 系統 du/dt = A*u「剛性」——二階差分的矩陣 A 特徵值低至約 -4*alpha/h^2，極度為負，故顯式 ODE 求解器的穩定區域逼出微小步長，正是偽裝的拋物型 CFL 限制。誠實的告誡：MOL 只直接處理與時間相關（演化型）的 PDE，且把高階空間模板與低階時間積分器拙劣配對會浪費精度。
對 100 個內部節點、h = 0.01 的 u_t = u_xx，MOL 產生 du/dt = A*u，其中 A 為 100x100、三對角，對角為 -2/h^2 = -20000。把它餵給剛性 ODE 求解器（如 BDF 法），它自行調整時間步；餵給前向尤拉，你又回到帶 k <= h^2/2 緊身衣的 FTCS。
只離散空間：PDE 變成 du/dt = A*u，一個大型 ODE 系統。
擴散算子得到的半離散 ODE 系統「剛性」（特徵值如 -1/h^2 縮放），故把 MOL 配顯式 ODE 求解器，會重新施加與 FTCS 相同的嚴酷步長限——偽裝的拋物型 CFL 條件。要利用 MOL 的自由，你通常需要隱式或剛性穩定的積分器（後向尤拉、BDF）。