後向歐拉法（backward Euler method）

前向歐拉法問「此處的斜率指向何方？」然後朝那走。後向歐拉法更精明：它問「我該落在哪裡，使得『終點處的斜率』正好沿著我剛走過的路徑指回來？」它不信任起點的斜率，而堅持這一步要與終點的斜率一致。這個小轉折讓每步代價更高，卻換來驚人的穩定性。

規則是 y_{n+1} = y_n + h * f(t_{n+1}, y_{n+1})。注意未知數 y_{n+1} 出現在「兩邊」——在右邊它埋在新時刻的 f 裡。所以你不能只是代入計算；你必須「解出」y_{n+1}，這使方法成為「隱式」。若 f 對 y 是線性的，這個方程只是簡單移項；若 f 是非線性的，每步就用牛頓法或不動點迭代去解。例如對 y' = -2y，步驟 y_{n+1} = y_n - 2h*y_{n+1} 可整理成 y_{n+1} = y_n / (1 + 2h)，是乾淨的閉式。從幾何上看，你在這一步的「終點」畫切線，並要求這一步落在它上面。

為什麼要付出額外求解的代價？為了穩定性。後向歐拉法是 A-穩定的：在測試問題 y' = lambda*y 上，只要是衰減模態（lambda 的實部為負），算出的解對「每一個」步長 h 都衰減，絕不爆掉。這使它成為「剛性」問題的主力，因為在那裡前向歐拉法為了不爆掉得用荒謬地小的步長。誠實的取捨是：它仍只有一階（準確度低，和前向歐拉法一樣），每步要解一個非線性方程，而且它其實「過度阻尼」——可能抹掉本該尖銳的特徵，並扼殺本該持續的振盪。選它是為了穩健，而非精準。