高斯消去法
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想像一疊含有數個未知數的線性方程式，像一團彼此打結的繩子，每條都把未知數綁在一起。高斯消去法就是耐心解開它們的方法：用某一條方程式把某個未知數從其餘所有方程式中消掉，再換下一個，直到最後一條方程式只剩一個未知數（可以直接讀出），然後反向逐步把其餘的填回去。這就是你學過的「加減消元解方程」，寫成一套仔細、可重複的步驟。
具體來說，把系統寫成 A x = b，並把 A 與 b 並排成增廣陣列。對第 1 行，選對角元 a_11 當樞紐（主元），對下面每一列 i，把列 i 減去 (a_i1 / a_11) 倍的列 1，使樞紐下方每個元素變成零。如此第 1 行只剩最上方非零；對第 2 行用 a_22 當樞紐重複，依此類推。經過 n-1 次掃描後，A 變成上三角矩陣 U（對角線以下全為零），同樣的運算施於 b 得到變換後的右端。接著用回代解這個三角系統。小例子：由 x + y = 3 與 2x + y = 4，把第二列減去 2 倍的第一列得 -y = -2，故 y = 2，再回代得 x = 1。
這是數值線性代數幾乎一切的主力；它所做的消去正是 LU 分解所記錄的內容，因此兩者是同一個計算的不同視角。對 n×n 系統約需 2 n^3 / 3 次浮點運算。若某個樞紐為零或極小，最樸素的版本會失敗或失去精度，因此實務上一律搭配樞紐選擇（列交換）以維持穩定性。
從 { x + y = 3 ; 2x + y = 4 } 消去 x：令 row2 := row2 - 2*row1 得 0*x - y = -2，故 y = 2；回代到 row1：x = 3 - 2 = 1。
一次消去步驟就把 2x2 系統化為可一眼解出的三角系統。
課本上不選樞紐的高斯消去法可能除以零樞紐，且對許多矩陣數值不穩定；實際程式一律對列做置換。用消去法求解也遠勝於先求 A 的逆。