三角系統

三角系統是線性系統中最容易的一種——你可以一條一條讀方程式逐一解出，永遠不必繞回頭。之所以叫「三角」，是因為寫成矩陣時，所有非零數字都擠進一個三角形：要嘛對角線以下全為零（上三角），要嘛對角線以上全為零（下三角）。直接法所有繁重機器的目的，就是把一個困難、完全耦合的系統化成三角的。

三角為何這麼容易？在上三角系統中，最後一條方程式只含 x_n，可立即解出；倒數第二條只含 x_{n-1} 與 x_n，知道 x_n 後便得 x_{n-1}；如此沿鏈往上——這就是回代。下三角系統則由上而下同樣求解，這是前代。無論哪種，每個未知數都是在減掉已知項後做一次除法求得，整個求解只約需 n^2 次浮點運算，而非一般系統的 n^3。三角矩陣的行列式也很簡單：就是對角元的乘積。

三角系統是 LU、喬列斯基、QR 等分解的終點：你花一次 O(n^3) 的功夫把 A 分解成三角（與正交）片段，之後每次求解都只是一對便宜的三角求解。所以「化成三角」是直接線性代數的核心技巧。一個注意點：三角矩陣正好在某個對角元為零時奇異，而對角元雖然技術上可逆但極小時，會讓求解在數值上變得脆弱。