FTCS 格式（forward-time central-space）
/ F-T-C-S /
想像一分鐘一分鐘地看熱在金屬棒中擴散。你知道此刻各處的溫度，想知道一分鐘後的。最直接的猜法是：每處的新溫度等於舊溫度，再依它與兩個緊鄰的比較作微調——較熱處朝平均冷卻，較冷處升溫。FTCS 正是把這直覺化成熱（擴散）方程 u_t = alpha * u_xx 的公式。
名稱道盡食譜：時間前向（Forward in Time）、空間中心（Central in Space）。你用前向差分 (u_j^{n+1} - u_j^n) / k 逼近時間導數 u_t——往前看一步——並用當前時間層 n 的中心二階差分 (u_{j-1}^n - 2 u_j^n + u_{j+1}^n) / h^2 逼近空間導數 u_xx。令兩者相等並解出唯一未知量（新值），得 u_j^{n+1} = u_j^n + r * (u_{j-1}^n - 2 u_j^n + u_{j+1}^n)，其中 r = alpha * k / h^2。由於右邊每一項在層 n 都已知，你只需橫掃網格、讀出新一列——沒有系統要解。這使 FTCS 成為「顯式格式」：便宜、簡單、一次一個節點。
問題出在穩定性。FTCS 只是「條件穩定」：馮諾伊曼分析顯示，除非 r = alpha * k / h^2 至多 1/2，否則它會爆炸。所以若把空間網格 h 減半，你必須把時間步 k 縮為四分之一才能保持穩定——一個殘酷的代價，恰在你想要準確度時讓 FTCS 變昂貴。一越過此限，解不只是變不準，而是在幾步內爆成劇烈振盪。FTCS 是顯式時間推進的教科書首例，因清晰而珍貴，也因其穩定性限制而受詛咒。
熱方程取 alpha = 1、h = 0.1，選 k = 0.004 使 r = k/h^2 = 0.4（小於 0.5，穩定）。某節點現值 20，鄰點 18 與 24，新值為 20 + 0.4*(18 - 40 + 24) = 20 + 0.4*2 = 20.8。把 k 調到 0.006，r = 0.6 > 0.5：幾步之內數字就擺盪到荒謬的量級——格式已失穩。
顯式且寫起來極簡——但只有當 r = alpha*k/h^2 <= 1/2 時才穩定。
穩定界 r <= 1/2 是對一維熱方程；二維配五點拉普拉斯時收緊為 r <= 1/4，三維更緊。把 FTCS 用於「對流」方程（u_t + c u_x = 0）則「無條件不穩定」——中心空間在那裡是錯誤選擇，你需要改用迎風格式。