密度泛函理論（density-functional theory）
/ DFT /
為什麼鑽石堅硬而石墨柔軟，兩者明明都是純碳？為什麼一個候選分子能當好的電池電極，另一個卻不行？答案藏在電子身上——電子如何在原子核周圍排布，幾乎決定了一切化學與材料性質。密度泛函理論（DFT）就是在電腦上計算這種電子排布的主力方法，也是全科學中最常用的計算之一。
N 個電子的精確量子描述是一個 3N 維的波函數——由於維度災難，超過寥寥幾個電子就完全無法處理。DFT 出自霍亨伯格、孔恩與沈呂九的精彩轉向是證明：你不需要完整的波函數；每一個基態性質都由電子「密度」決定，那是一個僅含三個空間維度的單一函數。孔恩-沈方案接著把交互作用的電子換成一組共享相同密度的虛構非交互作用電子，並自洽地解它們簡單得多的方程：猜一個密度，建構它所產生的有效位勢，解單電子方程得到新密度，重複到輸入與輸出密度一致為止。在數值上這是一個用疊代求解的非線性特徵值問題，仰賴本主題的每一樣工具——大型特徵值求解器、平面波方法用的 FFT，以及謹慎的線性代數。
DFT 預測分子幾何、反應能量、晶體結構，以及橫跨化學、材料科學與物理的電子性質，並為瓦爾特·孔恩贏得 1998 年諾貝爾化學獎的一份。關鍵而誠實的告誡是：DFT 原則上精確，實務上近似——其中一項成分，交換-關聯泛函，是未知的，必須加以近似。標準近似對許多系統好得驚人，卻可能系統性失靈——對能隙、弱凡得瓦力，以及強關聯材料——因此一個 DFT 數值是高品質的估計，而非有保證的真相。
為了尋找更好的電池，材料科學家用 DFT 篩選數千種候選鋰化合物：每次計算都在不合成的情況下預測晶體的電壓與穩定性。在電腦上看起來有希望的少數幾個，接著才在實驗室合成並測量——把長達數年的試誤搜尋變成一場有引導的搜尋。
DFT 在電腦中篩選電池材料——在合成任何東西之前就預測電壓與穩定性。
DFT 原則上精確，但其交換-關聯泛函未知且需近似，因此可能系統性失靈（能隙、色散力、強關聯系統）。把 DFT 結果視為待查核的有力估計，而非已成定論的事實。