複變函數（complex function）

複變函數就是一條規則：你輸入一個複數，它就回傳另一個複數。你餵進一個數 z（複平面上的一點，寫成 z = x + i y），函數 w = f(z) 便交給你一個新的複數 w。這跟中學學過的普通函數是同一個想法——輸入、規則、輸出——只是現在輸入與輸出都住在二維的複數平面裡，而不是住在一維的數線上。

因為輸入 z 在一個平面上，輸出 w 也在一個平面上，你其實畫不出尋常的函數圖形：那需要四個維度（z 佔兩維，w 佔兩維）。取而代之，我們並排放兩份平面——一個 z 平面、一個 w 平面——把 f 想成把第一張圖裡的點搬到第二張圖去。舉個具體例子，取 f(z) = z^2。輸入 z = 1 + i，則 z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i，所以這個 f 把點 1 + i 送到點 2i。

這一個轉變——輸出也是平面上的一點，所以你看的是點被送到哪裡，而不是從圖上讀出一個高度——正是複分析的核心。後面幾乎所有東西（極限、連續、導數、共形映射、圍道積分）都最好想成「f 把這一點、這一條曲線、這一塊區域送到哪裡？」複變函數不必處處有定義；它接受的輸入集合稱為它的定義域，要分開來看待。