完全解析函數
當你從一個函數元素出發，朝每個可能的方向、沿每條可能的路徑延拓它，你便生成一整族都是原元素親戚的元素。完全解析函數就是把這「整個」族捆成一個對象——所有能從起始元素經解析延拓抵達的函數元素（等價地，所有的芽）。你不選擇單一分支而丟棄其餘，而是同時保留每個分支，把這個多值的東西當成一個單一、更大的實體來對待。
把它想成對「這個函數到底是什麼？」這個問題最大限度的誠實答案。對於對數，完全解析函數由去心平面每一點上、對每個整數 k 的所有芽 Log z + 2 pi i k 組成——無窮多個分支，全都縫在一起，因為你能從任一個延拓到任何另一個。對於平方根，它是 正負 sqrt(z) 這兩個分支，因繞 0 一圈把一個送到另一個而相連。完全解析函數不偏好任何分支；分支只不過是你沿不同路徑旅行後得到的不同局部視角。在函數單值的地方（一塊避開分支點的單連通片），完全函數限制成一個普通的解析函數；在迴圈能改變分支的地方，它展開成數葉。
這是整個延拓故事在觀念上的終點，也正是黎曼曲面所幾何化的東西。完全解析函數在平面上方是多值的，但當你改把它看成定義在它的黎曼曲面上時，它就變成一個完全普通的單值解析函數——曲面正是這樣建造的，使每個芽都作為一個獨立的位置坐落在它的底點上方，而沿路徑延拓便成為曲面上一次普通的行走。所以「完全解析函數」與「定義在其黎曼曲面上的函數」是同一個觀念的兩個名字，一個用芽來表述、一個用幾何來表述。
由 sqrt(z) 的一個分支所生成的完全解析函數，是每個非零點上方那對芽 正負 sqrt(z)。在像 z = 1 這樣的單一底點上方它有兩個值 +1 與 -1；在 z = 4 上方有 +2 與 -2。繞 0 延拓會同時在各處互換這兩者。在它的兩葉黎曼曲面上看，這同一個對象就是單值函數 w，其中 w^2 = z。
同時保留每個分支：完全解析函數就是那個完整的多值對象，在它的黎曼曲面上是單值的。
完全解析函數是一個對象、而非一堆互不相干的函數。稱 log 為「多值」是這個單一連通的芽族的簡稱——一旦把它放上它正確的黎曼曲面，它就是單值的。