伴隨矩陣求根（companion-matrix root-finding）

數值程式庫如何一次找出多項式的「所有」根——比方說一個 5 次多項式的全部五個根，包括複根？不是靠跑五次牛頓法碰運氣。標準的訣竅出人意料又優雅：把多項式變成一個其「特徵值」恰好是該多項式之根的矩陣，再用成熟可靠的特徵值演算法一次找出它們全部。

每個首一多項式 p(x) = x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_1 x + c_0 都有一個「伴隨矩陣」——一個由其係數特別建出的 n 乘 n 矩陣（次對角線放 1，最後一行或最上一列放係數的相反數）。它的定義性質是：這個矩陣的特徵多項式恰好就是 p(x)。因此伴隨矩陣的特徵值「就是」p 的根，不論實根或複根。要找根，你把伴隨矩陣交給 QR 演算法（LAPACK 中的主力特徵值求解器），它穩健地給出全部 n 個根。這正是數值軟體中廣用的 roots 函數的運作方式。另一種求全部根的迭代法——Durand-Kerner（Weierstrass）法——以巧妙的不動點更新同時精煉所有根的估計，而非用矩陣。

兩個誠實的要點作結。第一，它令人愉快地可靠，因為它把繁重工作卸給經過極度測試的 QR 特徵值機制，而非雜耍許多各有收斂困擾的獨立牛頓迭代。第二，有一個真實的條件數警告：多項式的根可能對其係數的微小變化異常敏感。Wilkinson 著名的例子——一個根在 1, 2, ..., 20 的 20 次多項式——當某個係數在第 10 位小數受擾動時，其根會大幅移動，所以經由係數形式可能病態。可以的話，直接處理多項式的根或因式形式，比從係數重建它更安全。