平面等距變換的分類（classification of plane isometries）

你或許以為「在平面上剛性移動形狀的所有方式」會是一座無盡又雜亂的動物園。分類定理帶來一個漂亮整潔的驚喜：總共只有四種，就這樣。平面上每個保距變換都是平移、旋轉、反射或滑移反射——別無其他可能。知道這點，你只要回答兩個簡單問題，就能徹底辨認任何平面等距變換。

這兩個問題是：它保持還是反轉定向，以及它有沒有不動點？這給出一張乾淨的四格表。保持定向（直接）且有不動點：旋轉（其中心為不動點）。保持定向且無不動點：平移（什麼都不做的恆等變換算作沿零向量的特殊平移，通常歸在此處）。反轉定向（相反）且有不動點：反射（其整條鏡線為不動點）。反轉定向且無不動點：滑移反射。這窮盡了一切情形，故你遇見的任何平面等距變換都恰落入一格。

這之所以重要，是因為它把含糊的概念（「把東西移來移去」）化為有限、可檢驗的清單，並支撐起整套對稱理論。當你分類某圖形的對稱，或列舉七種帶飾群與十七種壁紙群時，你一再用到「每個對稱必是這四者之一」這個事實。此結果立足於平面（歐氏）幾何；在三維中清單變長（增添螺旋運動與旋轉反射），在球面或雙曲幾何中分類又再改變——但對平坦平面而言，四種就是全部。